広島大学
2010年 理系 第5問
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4で割ると余りが1である自然数全体の集合を$A$とする．すなわち，
\[ A=\{4k+1 \; | \; k\text{は0以上の整数} \} \]
とする．次の問いに答えよ．
(1) $x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2) 0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3) $m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4) $m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．
(1) $x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2) 0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3) $m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4) $m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．
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