行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) $a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2) $4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ． \[ A \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) \]
(3) 自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を \[ \biggl( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 1 & -c \end{array} \biggr) \] で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4) $\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．