平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$かつ$\angle \mathrm{AOB}=\theta \ (0<\theta<\pi)$を満たすとする．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$t>1$として，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$となるように定める．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1) $S$を$t$と$\theta$を用いて表せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$を$t$のみを用いて表せ．
(3) $|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$が最大となる$t$の値を求めよ．