東京農工大学
2014年 理系 第2問
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![a,bを実数とする.行列A=(\begin{array}{cc}4&3\a&b\end{array}),B=(\begin{array}{cc}a&b\b&-a\end{array})がAB=(\begin{array}{cc}10&5\5&0\end{array})を満たしている.次の問いに答えよ.(1)a,bの値を求めよ.ただし答えのみでよい.(2)m,nは実数で,m≠0,n≠0とする.座標平面上の2点S_1(m,0),S_2(0,n)をとり,行列Aが表す1次変換によってS_1,S_2が移る点をそれぞれ{S_1}´,{S_2}´とする.2点{S_1}´,{S_2}´を通る直線が2点S_1,S_2を通る直線に一致するとき,nをmの式で表せ.(3)2点T_1(-7,0),T_2(0,7)を通る直線をℓとする.行列Bが表す1次変換によってT_1,T_2が移る点をそれぞれ{T_1}´,{T_2}´とし,2点{T_1}´,{T_2}´を通る直線をℓ´とする.原点を中心とする半径rの円をCとする.Cとℓが異なる2点で交わり,かつCとℓ´も異なる2点で交わるとする.このようなrの値の範囲を求めよ.(4)(3)において,円Cがℓを切り取る線分の長さをLとし,円Cがℓ´を切り取る線分の長さをL´とする.このようなL,L´の中で,Lが最も小さい自然数になるときのL´の値を求めよ.](./thumb/186/2349/2014_2.png)
2
$a,\ b$を実数とする.行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 3 \\
a & b
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array} \right)$が
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
10 & 5 \\
5 & 0
\end{array} \right) \]
を満たしている.次の問いに答えよ.
(1) $a,\ b$の値を求めよ.ただし答えのみでよい.
(2) $m,\ n$は実数で,$m \neq 0$,$n \neq 0$とする.座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$,$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり,行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$,$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$,${\mathrm{S}_2}^\prime$とする.$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$,${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$,$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき,$n$を$m$の式で表せ.
(3) $2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$,$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする.行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$,$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$,${\mathrm{T}_2}^\prime$とし,$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$,${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする.原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする.$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり,かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする.このような$r$の値の範囲を求めよ.
(4) $(3)$において,円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし,円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする.このような$L,\ L^\prime$の中で,$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ.
(1) $a,\ b$の値を求めよ.ただし答えのみでよい.
(2) $m,\ n$は実数で,$m \neq 0$,$n \neq 0$とする.座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$,$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり,行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$,$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$,${\mathrm{S}_2}^\prime$とする.$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$,${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$,$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき,$n$を$m$の式で表せ.
(3) $2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$,$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする.行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$,$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$,${\mathrm{T}_2}^\prime$とし,$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$,${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする.原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする.$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり,かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする.このような$r$の値の範囲を求めよ.
(4) $(3)$において,円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし,円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする.このような$L,\ L^\prime$の中で,$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ.
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