弘前大学
2010年 理系 第4問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の条件を満たすとする．
\begin{eqnarray}
& & a_1=1,\ \ a_2=2,\ \ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_1=2,\ \ b_2=6,\ \ b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
さらに行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
6 & 2 \\
2 & 2
\end{array} \biggr)$とする．このとき次が成り立つことを証明せよ．
(1) $n$が2以上の偶数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{array} \biggr)$
(2) $n$が3以上の奇数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} b_{n+1} & b_n \\ b_n & b_{n-1} \end{array} \biggr)$
(1) $n$が2以上の偶数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{array} \biggr)$
(2) $n$が3以上の奇数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} b_{n+1} & b_n \\ b_n & b_{n-1} \end{array} \biggr)$
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