弘前大学
2013年 理系 第3問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2) $D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3) $X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2) $D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3) $X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．
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