大阪府立大学
2012年 文系 第2問
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![関数f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}について,以下の問いに答えよ.(1)f\biggl(1/2\biggr)を求めよ.(2)f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}を示せ.(3)すべての自然数nに対してb_n=f\biggl(\frac{1}{2^n}\biggr)は無理数であることを,数学的帰納法を用いて示せ.ただし,有理数r,sを用いて表される実数r+s√2はs≠0ならば無理数であることを,証明なく用いてもよい.](./thumb/507/2698/2012_2.png)
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について,以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ.
(2) $\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ.
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを,数学的帰納法を用いて示せ.ただし,有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを,証明なく用いてもよい.
(1) $\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ.
(2) $\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ.
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを,数学的帰納法を用いて示せ.ただし,有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを,証明なく用いてもよい.
類題(関連度順)
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