大阪大学
2012年 理系 第4問
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![5次式f(x)=x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t(p,q,r,s,t は実数 )について考える.このとき,以下の問いに答えよ.(1)数列f(0),f(1),f(2),f(3),f(4)が等差数列であることと,f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m(l,m は実数 )と書けることは互いに同値であることを示せ.(2)f(x)は(1)の条件をみたすものとする.αを実数,kを3以上の自然数とする.k項からなる数列f(α),f(α+1),f(α+2),・・・,f(α+k-1)が等差数列となるようなα,kの組をすべて求めよ.](./thumb/504/1065/2012_4.png)
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5次式$f(x) = x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t \quad (p,\ q,\ r,\ s,\ t \text{は実数})$について考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと, \[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \] と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) $f(x)$は(1)の条件をみたすものとする.$\alpha$を実数,$k$を3以上の自然数とする.$k$項からなる数列 \[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \] が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ.
(1) 数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと, \[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \] と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) $f(x)$は(1)の条件をみたすものとする.$\alpha$を実数,$k$を3以上の自然数とする.$k$項からなる数列 \[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \] が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ.
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