次の問いに答えよ．
(1) $3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める． \[ \begin{array}{l} U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\ A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\ B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \} \end{array} \] このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2) 次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3) 命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4) $9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．