$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目，$2$回目，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$として，$3$つの確率変数 \[ Y=4X_1+X_2,\quad Z_1=2X_1+3X_2,\quad Z_2=2X_1+3X_3 \] を定める．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として， \[ \begin{array}{l} \displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\ \displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\} \end{array} \] を定める．部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ．
(2) $Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし，$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする．次の問いに答えよ．
(ⅰ) $i=1,\ 2$に対し，等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．
(ⅱ) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき，その値を求めよ．