信州大学
2015年 経済学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して \[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \] が成立することを示せ.また,等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ.
(2) 偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき,同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ.ただし,サイコロが偏りをもつとは,$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう.
(1) $n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して \[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \] が成立することを示せ.また,等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ.
(2) 偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき,同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ.ただし,サイコロが偏りをもつとは,$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう.
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コメント(2件)
2015-08-21 22:31:31
作りました。なかなか手ごわい問題だと思いますが、有名な問題でもあります(頻出という意味ではありません)。解法はいろいろありますが、どれも難しいです。それでも僕自身がこの解法が好きなので、このように解きました。これについていろいろ書きたいことはありますが、とりあえず解答解説を。時間が出来たときに、これの図形的考察なんかもつくりたいと思っています(いつになるか分かりません・・・)。本番では(1)は難しいけど(2)は(1)が示せたとして解きましょう。 |
2015-08-19 09:45:25
解説お願いします! |
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