大阪教育大学
2010年 理系 第2問
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![自然数nに対して,I_n=∫_0^{π/2}sin^nxdxとおく.次の問に答えよ.(1)定積分I_1,I_2,I_3を求めよ.(2)次の不等式を証明せよ.I_n≧I_{n+1}(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ.I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n(4)次の極限値を求めよ.\lim_{n→∞}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}](./thumb/505/2612/2010_2.png)
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自然数$n$に対して,
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく.次の問に答えよ.
(1) 定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(2) 次の不等式を証明せよ. \[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ. \[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
(1) 定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(2) 次の不等式を証明せよ. \[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ. \[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]
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