九州工業大学
2014年 工学部 第4問
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![関数f(x)=-tanx(0≦x≦π/4),g(x)=sin2x(0≦x≦π/4)について,次に答えよ.(1)不定積分∫tanxdx,∫tan^2xdxを求めよ.(2)b>0とする.曲線y=g(x)および3直線y=-b,x=0,x=π/4で囲まれた部分を直線y=-bのまわりに1回転してできる立体の体積V_1をbを用いて表せ.(3)0≦x≦π/4のとき,不等式f(x)+g(x)≧0を示せ.(4)2曲線y=f(x),y=g(x)および直線x=π/4で囲まれた部分を直線y=-\frac{1}{√3}のまわりに1回転してできる立体の体積V_2を求めよ.](./thumb/678/3144/2014_4.png)
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関数$\displaystyle f(x)=-\tan x \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$,$\displaystyle g(x)=\sin 2x \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について,次に答えよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$,$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ.
(2) $b>0$とする.曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$,$x=0$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき,不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ.
(4) $2$曲線$y=f(x)$,$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$,$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ.
(2) $b>0$とする.曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$,$x=0$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき,不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ.
(4) $2$曲線$y=f(x)$,$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ.
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