神奈川大学
2014年 理系 第2問
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$\displaystyle a_1=-\frac{1}{2}$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3^n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$について,次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle b_n=a_n+\frac{k}{3^n}$で定まる数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n$を満たすとき,定数$k$の値を求めよ.
(2) $(1)$で求めた$k$に対して,一般項$b_n$を求めよ.
(3) 一般項$a_n$と$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
(1) $\displaystyle b_n=a_n+\frac{k}{3^n}$で定まる数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n$を満たすとき,定数$k$の値を求めよ.
(2) $(1)$で求めた$k$に対して,一般項$b_n$を求めよ.
(3) 一般項$a_n$と$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
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