東北大学
2013年 理系 第5問
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2次の正方行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \right)$で定める.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を関係式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$x_0=1,\ y_0=0$とする.
(1) $A^4$を求めよ.
(2) $n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して, \[ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ.ただし,$E$は2次の単位行列とする.
(3) 原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ.
(1) $A^4$を求めよ.
(2) $n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して, \[ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ.ただし,$E$は2次の単位行列とする.
(3) 原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ.
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