岩手県立大学
2014年 文系 第4問
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以下の問いに答えなさい.
下図のように,外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.この中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる.すなわち,$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている. \imgc{48_2309_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい.
(3) ここで,改めて,$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し,一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き,この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく.このようにして,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい.
下図のように,外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.この中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる.すなわち,$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている. \imgc{48_2309_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい.
(3) ここで,改めて,$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し,一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き,この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく.このようにして,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい.
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