愛媛大学
2013年 理学部・工学部 第2問
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![次の問いに答えよ.(1)iを虚数単位とする.等式(1+i)^{14}=a+biを満たす実数a,bの値を求めよ.(2)xの多項式x^4-px+qが(x-1)^2で割り切れるとき,定数p,qの値を求めよ.(3)θが方程式cos2θ-2sinθ=47/50を満たすとき,sinθの値を求めよ.(4)次の極限値を求めよ.\lim_{x→0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4})sin2x}{x^2}(5)空間内に5点A,B,C,D,Eがあり,次の等式を満たしている.ベクトルEA+ベクトルEB+ベクトルEC+ベクトルED=ベクトル0,ベクトルBC=ベクトルAB+ベクトルCDベクトルEBをベクトルEAとベクトルECを用いて表せ.ただし,ベクトル0は零ベクトルである.](./thumb/669/2883/2013_2.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $i$を虚数単位とする.等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) $x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき,定数$p,\ q$の値を求めよ.
(3) $\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき,$\sin \theta$の値を求めよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5) 空間内に$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$があり,次の等式を満たしている. \[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \] $\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである.
(1) $i$を虚数単位とする.等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) $x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき,定数$p,\ q$の値を求めよ.
(3) $\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき,$\sin \theta$の値を求めよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5) 空間内に$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$があり,次の等式を満たしている. \[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \] $\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである.
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