公立はこだて未来大学
2015年 理系 第7問
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$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3) $n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．
(1) $\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3) $n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．
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