九州工業大学
2010年 工学部 第2問
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Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$,P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して,直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として,次に答えよ.
(1) $X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ.また,$s+t+u$の値を求めよ.
(3) 点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする.$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ.
(1) $X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする.$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ.また,$s+t+u$の値を求めよ.
(3) 点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする.$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき,$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ.
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