福島大学
2014年 人文B 第5問
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![a,bを正の定数とし,関数y=f(x),y=g(x)を次のように定める.f(x)=2\sqrt{x-a}(x≧a)g(x)=\frac{x^2}{4}+b(x≧0)y=f(x)のグラフをC_1,y=g(x)のグラフをC_2とし,C_1とC_2は1点Pにおいて接している.すなわち,点PはC_1,C_2上にあり,点Pにおけるそれぞれの接線は一致する.(1)関数y=f(x)の導関数を求めなさい.(2)点Pのx座標をtとするとき,aおよびbをtを用いて表しなさい.(3)tの値の範囲を求めなさい.(4)C_1,C_2,x軸,y軸で囲まれた図形の面積Sをtを用いて表しなさい.(5)Sの最大値と,そのときのtの値を求めなさい.](./thumb/77/3201/2014_5.png)
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$a,\ b$を正の定数とし,関数$y=f(x)$,$y=g(x)$を次のように定める.
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし,$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している.すなわち,点$\mathrm{P}$は$C_1$,$C_2$上にあり,点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する.
(1) 関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき,$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい.
(3) $t$の値の範囲を求めなさい.
(4) $C_1$,$C_2$,$x$軸,$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい.
(5) $S$の最大値と,そのときの$t$の値を求めなさい.
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし,$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している.すなわち,点$\mathrm{P}$は$C_1$,$C_2$上にあり,点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する.
(1) 関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき,$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい.
(3) $t$の値の範囲を求めなさい.
(4) $C_1$,$C_2$,$x$軸,$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい.
(5) $S$の最大値と,そのときの$t$の値を求めなさい.
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