会津大学
2016年 コンピュータ理工 第4問
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曲線$y=e^{-x}$を$C$とし,$n$を自然数とする.このとき,以下の空欄をうめよ.
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{イ}$である.
(2) 一般に,曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき,この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし,点$\mathrm{Q}_n$を通り,$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_2$,$\cdots$のように点をとる.このとき,点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$\fbox{ロ}$である.
(3) 曲線$C$,直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.このとき,$S_n=\fbox{ハ}$である.
(4) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\fbox{ニ}$である.
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{イ}$である.
(2) 一般に,曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき,この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし,点$\mathrm{Q}_n$を通り,$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_2$,$\cdots$のように点をとる.このとき,点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$\fbox{ロ}$である.
(3) 曲線$C$,直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.このとき,$S_n=\fbox{ハ}$である.
(4) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\fbox{ニ}$である.
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