公立はこだて未来大学
2011年 理系 第7問
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数列$\{a_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により， \[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となるときの$A_n$を求めよ．
(2) (1)で求めた$A_n$について，$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1) $\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により， \[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となるときの$A_n$を求めよ．
(2) (1)で求めた$A_n$について，$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
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