山形大学
2014年 工学部 第4問
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![△A_1B_1Cは,B_1C=√2,∠B_1A_1C=π/2,∠A_1B_1C=θ(0<θ<π/2)を満たす.下図のように,点A_1から辺B_1Cに下ろした垂線をA_1B_2とし,点B_2から辺A_1Cに下ろした垂線をB_2A_2とする.次に,点A_2から辺B_1Cに下ろした垂線をA_2B_3とし,点B_3から辺A_1Cに下ろした垂線をB_3A_3とする.この操作を繰り返し,辺A_1C上に点A_2,A_3,A_4,・・・を,辺B_1C上に点B_2,B_3,B_4,・・・を定める.自然数nに対し,△A_nB_nB_{n+1}の面積をS_nとし,これらの面積の総和をT=Σ_{n=1}^∞S_nとする.このとき,次の問いに答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)S_1=sinθcos^3θ,S_2=sin^5θcos^3θを示し,一般項S_nを求めよ.(2)T=\frac{sinθcosθ}{1+sin^2θ}を示せ.(3)θが0<θ<π/2の範囲を動くとき,Tの最大値を求めよ.](./thumb/72/2158/2014_4.png)
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$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$は,$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\sqrt{2}$,$\displaystyle \angle \mathrm{B}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle \angle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たす.下図のように,点$\mathrm{A}_1$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_2$とし,点$\mathrm{B}_2$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_2 \mathrm{A}_2$とする.次に,点$\mathrm{A}_2$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_3$とし,点$\mathrm{B}_3$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_3 \mathrm{A}_3$とする.この操作を繰り返し,辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$,$\mathrm{A}_4$,$\cdots$を,辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{B}_2$,$\mathrm{B}_3$,$\mathrm{B}_4$,$\cdots$を定める.自然数$n$に対し,$\triangle \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$の面積を$S_n$とし,これらの面積の総和を$\displaystyle T=\sum_{n=1}^\infty S_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.
\imgc{72_2157_2014_2}
(1) $S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$,$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し,一般項$S_n$を求めよ.
(2) $\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$T$の最大値を求めよ.
(1) $S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$,$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し,一般項$S_n$を求めよ.
(2) $\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$T$の最大値を求めよ.
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