弘前大学
2014年 理系 第2問
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![f(x)=x/{2^x}とし,f´(x)をf(x)の導関数とする.このとき,次の問いに答えよ.(1)定数cを0≦c≦2とする.このとき,0≦x≦2を満たすxに対して,不等式f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.(2)nを自然数とする.x_1,x_2,・・・,x_nは0以上の実数で,x_1+x_2+・・・+x_n=2を満たすとする.このとき,不等式f(x_1)+f(x_2)+・・・+f(x_n)≦nf(2/n)が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.](./thumb/37/2045/2014_2.png)
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$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし,$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする.このとき,$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して,不等式 \[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \] が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.
(2) $n$を自然数とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で,$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする.このとき,不等式 \[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \] が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.
(1) 定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする.このとき,$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して,不等式 \[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \] が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.
(2) $n$を自然数とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で,$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする.このとき,不等式 \[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \] が成り立つことを示せ.また,等号が成立するのはどのようなときか述べよ.
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