山形大学
2011年 工学部 第4問
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![xy平面上に曲線y=1/x(x＞0)がある．曲線C上の点P(t,1/t)における接線をℓとし，原点Oからℓに下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．(1)直線ℓの方程式はy=-\frac{1}{t^2}x+2/tであることを示せ．(2)点Hの座標は(\frac{2t}{1+t^4},\frac{2t^3}{1+t^4})であることを示せ．(3)直線ℓとy軸のなす角をθ(0＜θ＜π/2)とし，線分OHの長さをdとする．\mon[(i)]t^2,d^2をθの式で表せ．\mon[(ii)]\lim_{θ→+0}\frac{d^2}{θ}を求めよ．](./thumb/72/2158/2011_4.png)
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$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．
(1) 直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2) 点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3) 直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ． [(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
(1) 直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2) 点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3) 直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ． [(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
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