徳島大学
2013年 医(保健)・工学部 第1問
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![A=(\begin{array}{cc}a&-a\-b&b\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})とし,nを自然数とする.また,E+A+A^2+・・・+A^n=(\begin{array}{cc}p_n&q_n\r_n&s_n\end{array})とおく.(1)A^2=cAとなる定数cをa,bを用いて表せ.(2)行列A^nをa,bおよびnを用いて表せ.(3)a,bは正の数でa+b<1を満たす.p_nをa,bおよびnを用いて表せ.(4)a=1/2,b=1/3のとき,極限値\lim_{n→∞}p_nを求めよ.](./thumb/661/2831/2013_1.png)
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$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし,$n$を自然数とする.また,
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく.
(1) $A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(3) $a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす.$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ.
(1) $A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(3) $a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす.$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ.
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