室蘭工業大学
2011年 工学部 第2問
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![正の整数nに対して,S_n(x)=∫_0^xt^ne^{-t}dtとおく.ただし,eは自然対数の底とする.(1)S_{n+1}(x)をn,xおよびS_n(x)を用いて表せ.(2)mを正の整数とする.x>0のとき,不等式e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}が成り立つことを示せ.また,\lim_{x→∞}\frac{x^m}{e^x}=0となることを示せ.(3)数学的帰納法を用いて,すべての正の整数nに対して,\lim_{x→∞}S_n(x)=n!となることを示せ.](./thumb/7/18/2011_2.png)
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正の整数$n$に対して,$\displaystyle S_n(x)=\int_0^x t^ne^{-t} \, dt$とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ.
(2) $m$を正の整数とする.$x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ.また,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ.
(3) 数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ.
(1) $S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ.
(2) $m$を正の整数とする.$x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ.また,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ.
(3) 数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ.
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コメント(1件)
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