横浜市立大学
2010年 医学部 第3問
3
![nは自然数とする.1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対し,n個の積A^nをA^n=(\begin{array}{cc}a_n&b_n\c_n&d_n\end{array}),A^1=Aとおく.また,0<v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して,Aは等式A(\begin{array}{c}u\v\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}u\v\end{array})をみたすとする.以下の問いに答えよ.(1)不等式(1+v/u)\lambda^n≦a_n+b_n+c_n+d_n≦(1+u/v)\lambda^nを示せ.(2)Mを1+1/bと1+1/cの大きい方(b=cの場合はどちらでも良い)とするとき,不等式a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1})を示せ.(3)数列{1/nlog(a_n+d_n)}の極限値を求めよ.](./thumb/308/2359/2010_3.png)
3
$n$は自然数とする.$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し,$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく.また,$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して,$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする.以下の問いに答えよ.
(1) 不等式 \[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \] を示せ.
(2) $M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方($b=c$の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式 \[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \] を示せ.
(3) 数列 \[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \] の極限値を求めよ.
(1) 不等式 \[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \] を示せ.
(2) $M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方($b=c$の場合はどちらでも良い)とするとき,不等式 \[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \] を示せ.
(3) 数列 \[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \] の極限値を求めよ.
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