山口大学
2014年 理(数理科学)・医 第3問
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四面体$\mathrm{ABCD}$において,
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき,次の問いに答えなさい.ただし,$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(1) 点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし,その平面との交点を$\mathrm{H}$とする.線分$\mathrm{AH}$,$\mathrm{BH}$,$\mathrm{CH}$,$\mathrm{DH}$の長さを,それぞれ$\theta$を用いて表しなさい.
(2) $t=\cos \theta$とする.$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を,$t$を用いて表しなさい.
(3) $(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする.$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい.ただし,$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい.
(1) 点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし,その平面との交点を$\mathrm{H}$とする.線分$\mathrm{AH}$,$\mathrm{BH}$,$\mathrm{CH}$,$\mathrm{DH}$の長さを,それぞれ$\theta$を用いて表しなさい.
(2) $t=\cos \theta$とする.$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を,$t$を用いて表しなさい.
(3) $(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする.$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい.ただし,$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい.
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コメント(1件)
2015-02-14 13:35:04
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