早稲田大学
2012年 教育 第1問
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![次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.(1)実数a,bが0≦a≦π,a<bをみたすとき,I(a,b)=∫_a^be^{-x}sinx\;dxとおく.ただし,eは自然対数の底とする.\lim_{b→∞}I(a,b)=0が成立するようにaを定めよ.(2)行列A=\begin{pmatrix}\;\;\;a&b\;\;\;\;\\\;\;\;c&d\;\;\;\;\end{pmatrix}はad-bc=2およびa+d=3をみたし,かつ,ある行列B=\begin{pmatrix}\;\;\;1&1\;\;\;\;\\\;\;\;0&1\;\;\;\;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\;\;\;α&0\;\;\;\;\\\;\;\;0&β\;\;\;\;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\;\;\;1&1\;\;\;\;\\\;\;\;0&1\;\;\;\;\end{pmatrix}^{-1}に対してAB=BAをみたしている.ただしα≠βとする.このような行列Aをすべて求めよ.(3)cを正の実数として,漸化式a_n=\frac{{a_{n-1}}^2}{3^n}(n≧1),\qquada_0=cで定義される数列{a_n}を考える.このとき\lim_{n→∞}a_n=∞となるようなcの範囲を求めよ.(4)実数tが1≦t≦2の範囲で動くとき,xy平面の直線y=(3t^2-4)x-2t^3が通る範囲をHとする.Hの内,直線x=1とx=20/9ではさまれる部分の面積を求めよ.](./thumb/304/7/2012_1.png)
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次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.
(1) 実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$,$a<b$をみたすとき, \[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \] とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする. \[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \] が成立するように$a$を定めよ.
(2) 行列$A= \begin{pmatrix} \;\;\; a & b \;\;\;\; \\ \;\;\; c & d \;\;\;\; \end{pmatrix} $は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし,かつ,ある行列 \[ B = \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & \beta \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix}^{-1} \] に対して$AB=BA$をみたしている.ただし$\alpha \neq \beta$とする.このような行列$A$をすべて求めよ.
(3) $c$を正の実数として,漸化式 \[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える.このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ.
(4) 実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき,$xy$平面の直線 \[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \] が通る範囲を$H$とする.$H$の内,直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ.
(1) 実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$,$a<b$をみたすとき, \[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \] とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする. \[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \] が成立するように$a$を定めよ.
(2) 行列$A= \begin{pmatrix} \;\;\; a & b \;\;\;\; \\ \;\;\; c & d \;\;\;\; \end{pmatrix} $は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし,かつ,ある行列 \[ B = \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & \beta \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix}^{-1} \] に対して$AB=BA$をみたしている.ただし$\alpha \neq \beta$とする.このような行列$A$をすべて求めよ.
(3) $c$を正の実数として,漸化式 \[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える.このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ.
(4) 実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき,$xy$平面の直線 \[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \] が通る範囲を$H$とする.$H$の内,直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ.
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