早稲田大学
2013年 政治経済学部 第2問
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次の各問に答えよ.$(2)$は空欄にあてはまる数または式を記入せよ.
(1) 数列$\{a_n\}$が \[ a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で与えられている.このとき,和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ.また,$S_n$は \[ S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ.
(2) 数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が \[ (\ast) \quad T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たしている.もし,$\displaystyle T_1=\frac{1}{2}$ならば,$(\ast)$で$n=2$ととれば,$\displaystyle T_2=T_1=\frac{1}{2}$となる.同様に,$(\ast)$で$n=3,\ 4,\ \cdots$ととれば,$\displaystyle T_n=\frac{1}{2} \ \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$となる.
いま,$\displaystyle T_n \neq \frac{1}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$U_n=1-2T_n$とおくと,$U_n$は漸化式$\fbox{ア}$を満たす.よって,$\displaystyle \frac{1}{U_1}=c \ \ (\neq 0)$とおけば,$U_n$は$n$と$c$を用いて,$U_n=\fbox{イ}$と表せる.これより,$b_1=\fbox{ウ}$,$b_n=\fbox{エ}$が得られ,$b_n$が$(1)$の$a_n$と一致するのは$c=\fbox{オ}$のときである.
(1) 数列$\{a_n\}$が \[ a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で与えられている.このとき,和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ.また,$S_n$は \[ S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ.
(2) 数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が \[ (\ast) \quad T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たしている.もし,$\displaystyle T_1=\frac{1}{2}$ならば,$(\ast)$で$n=2$ととれば,$\displaystyle T_2=T_1=\frac{1}{2}$となる.同様に,$(\ast)$で$n=3,\ 4,\ \cdots$ととれば,$\displaystyle T_n=\frac{1}{2} \ \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$となる.
いま,$\displaystyle T_n \neq \frac{1}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$U_n=1-2T_n$とおくと,$U_n$は漸化式$\fbox{ア}$を満たす.よって,$\displaystyle \frac{1}{U_1}=c \ \ (\neq 0)$とおけば,$U_n$は$n$と$c$を用いて,$U_n=\fbox{イ}$と表せる.これより,$b_1=\fbox{ウ}$,$b_n=\fbox{エ}$が得られ,$b_n$が$(1)$の$a_n$と一致するのは$c=\fbox{オ}$のときである.
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