筑波大学
2016年 理系 第2問
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$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$\tokeiichi$~$\tokeishi$で定める.
(ⅰ) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ⅱ) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(ⅲ) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する. [$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1) 円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3) $(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ. \imgc{86_1824_2016_1}
(ⅰ) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ⅱ) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(ⅲ) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する. [$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1) 円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3) $(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ. \imgc{86_1824_2016_1}
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