東京理科大学
2015年 工(工業化・経営工・機械工) 第1問
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$\fbox{}$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を$0$として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を$1$としなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.
(1) $a$を$0$でない実数の定数とし,曲線$C:y=ax^2-1$および直線$\ell:x+y=0$を考える.
(ⅰ) $a=1$とする.曲線$C$上の$2$点$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$と$(\fbox{ウ},\ -\fbox{エ})$は直線$\ell$に関して対称である.
(ⅱ) 曲線$C$上に,直線$\ell$に関して対称である,異なる$2$点が存在するとき,定数$a$のとり得る値の範囲は \[ a>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
(2) 座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(2 \sqrt{3},\ 2)$,$\mathrm{C}(2 \sqrt{3}-1,\ \sqrt{3}+2)$,$\mathrm{D}(-1,\ \sqrt{3})$を頂点とする長方形$\mathrm{ABCD}$がある.点$\mathrm{P}_0$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし,条件 \[ \angle \mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{B}=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{C},\quad \angle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{C}=\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{D},\quad \angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{D}=\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{A} \] を満たすように,辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}$,$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図のようにとる.
点$\mathrm{P}_4$の$x$座標$x_4$が$\sqrt{3}<x_4<2 \sqrt{3}$を満たすとき,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$の$x$座標$x_1$,$x_2$,$x_3$のとり得る値の範囲はそれぞれ
$\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}<x_1<\fbox{オ} \sqrt{\fbox{カ}}-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$,
$\displaystyle \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \times \sqrt{\fbox{サ}}-\fbox{シ}<x_2<\sqrt{\fbox{ス}}-\fbox{セ}$,
$\displaystyle -\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}<x_3<-\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$
である.
(3) $a$を実数の定数とし,$x$に関する方程式$\displaystyle \frac{\log (3-x^2+2x)}{\log (x-a)}=2$を考える.この方程式が実数解をもつとき,実数$a$のとり得る値の範囲は
$\fbox{ア}-\fbox{イ} \sqrt{\fbox{ウ}} \leqq a<\sqrt{\fbox{エ}}$,
$\sqrt{\fbox{オ}}<a<\fbox{カ}$
である.
ただし,正の数$A$に対して,$\log A$は$A$の自然対数を表す.
(1) $a$を$0$でない実数の定数とし,曲線$C:y=ax^2-1$および直線$\ell:x+y=0$を考える.
(ⅰ) $a=1$とする.曲線$C$上の$2$点$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$と$(\fbox{ウ},\ -\fbox{エ})$は直線$\ell$に関して対称である.
(ⅱ) 曲線$C$上に,直線$\ell$に関して対称である,異なる$2$点が存在するとき,定数$a$のとり得る値の範囲は \[ a>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
(2) 座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$,$\mathrm{B}(2 \sqrt{3},\ 2)$,$\mathrm{C}(2 \sqrt{3}-1,\ \sqrt{3}+2)$,$\mathrm{D}(-1,\ \sqrt{3})$を頂点とする長方形$\mathrm{ABCD}$がある.点$\mathrm{P}_0$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし,条件 \[ \angle \mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{B}=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{C},\quad \angle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{C}=\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{D},\quad \angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{D}=\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{A} \] を満たすように,辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}$,$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図のようにとる.
点$\mathrm{P}_4$の$x$座標$x_4$が$\sqrt{3}<x_4<2 \sqrt{3}$を満たすとき,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$の$x$座標$x_1$,$x_2$,$x_3$のとり得る値の範囲はそれぞれ
$\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}<x_1<\fbox{オ} \sqrt{\fbox{カ}}-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$,
$\displaystyle \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \times \sqrt{\fbox{サ}}-\fbox{シ}<x_2<\sqrt{\fbox{ス}}-\fbox{セ}$,
$\displaystyle -\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}<x_3<-\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$
である.
(3) $a$を実数の定数とし,$x$に関する方程式$\displaystyle \frac{\log (3-x^2+2x)}{\log (x-a)}=2$を考える.この方程式が実数解をもつとき,実数$a$のとり得る値の範囲は
$\fbox{ア}-\fbox{イ} \sqrt{\fbox{ウ}} \leqq a<\sqrt{\fbox{エ}}$,
$\sqrt{\fbox{オ}}<a<\fbox{カ}$
である.
ただし,正の数$A$に対して,$\log A$は$A$の自然対数を表す.
コメント(1件)
2016-01-22 16:34:18
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