東京大学
2011年 理系 第5問
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$p,\ q$を2つの正の整数とする.整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え,このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ.各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく.
(1) $(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\ 以下$p=q$の場合を考える.
(2) $s$を整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
(3) $(p,\ p)$パターンの総数を求めよ.
(1) $(p,\ q)$パターンのうち,$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ.また,$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ.\\ 以下$p=q$の場合を考える.
(2) $s$を整数とする.$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ.
(3) $(p,\ p)$パターンの総数を求めよ.
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