東京大学
2012年 理系 第5問
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![行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)が次の条件(D)を満たすとする.\mon[(D)]Aの成分a,b,c,dは整数である.また,平面上の4点(0,0),(a,b),(a+c,b+d),(c,d)は,面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす.B=\biggl(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\biggr)とおく.次の問いに答えよ.(1)行列BAとB^{-1}Aも条件(D)を満たすことを示せ.(2)c=0ならば,AにB,B^{-1}のどちらかを左から次々にかけることにより,4個の行列\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{rr}-1&0\\0&-1\end{array}\biggr)のどれかにできることを示せ.(3)|a|≧|c|>0とする.BA,B^{-1}Aに少なくともどちらか一方は,それを\biggl(\begin{array}{cc}x&y\\z&w\end{array}\biggr)とすると|x|+|z|<|a|+|c|を満たすことを示せ.](./thumb/179/910/2012_5.png)
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする.
[(D)] $A$の成分$a$,$b$,$c$,$d$は整数である.また,平面上の4点$(0,\ 0)$,$(a,\ b)$,$(a+c,\ b+d)$,$(c,\ d)$は,面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす.
$B=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ.
(2) $c=0$ならば,$A$に$B$,$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより,4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ.
(3) $|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする.$BA$,$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は,それを$\biggl( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \biggr)$とすると \[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \] を満たすことを示せ.
[(D)] $A$の成分$a$,$b$,$c$,$d$は整数である.また,平面上の4点$(0,\ 0)$,$(a,\ b)$,$(a+c,\ b+d)$,$(c,\ d)$は,面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす.
$B=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ.
(2) $c=0$ならば,$A$に$B$,$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより,4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ.
(3) $|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする.$BA$,$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は,それを$\biggl( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \biggr)$とすると \[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \] を満たすことを示せ.
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