滋賀医科大学
2013年 医学部 第1問
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![正の整数n,p,qについて,等式(√p+√q)^{2n-1}=a_n√p+b_n√qを考える.(1)ある正の整数a_n,b_nが上の等式を満たすことを示せ.(2)\sqrt{pq}が整数でないとき,(1)のa_n,b_nはただ一通りに定まることを示せ.(3)\sqrt{pq}が整数でないとき,(1)のa_n,b_nに対して\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}を求めよ.](./thumb/465/1258/2013_1.png)
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正の整数$n,\ p,\ q$について,等式
\[ (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n-1}=a_n \sqrt{p}+b_n \sqrt{q} \]
を考える.
(1) ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ.
(2) $\sqrt{pq}$が整数でないとき,(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ.
(3) $\sqrt{pq}$が整数でないとき,(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ.
(1) ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ.
(2) $\sqrt{pq}$が整数でないとき,(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ.
(3) $\sqrt{pq}$が整数でないとき,(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ.
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