滋賀大学
2013年 文系 第4問
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$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$,$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$,$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{B}_2$とする.次に,$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$,$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$,$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$,$\mathrm{A}_3$,$\mathrm{B}_3$とする.これをくり返して,$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$,$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$,$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$,$\mathrm{A}_{n+1}$,$\mathrm{B}_{n+1}$とする.ただし,$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である.また,$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}|=3$,$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$,$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$,$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$,$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(1) $\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$,$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$,$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
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