帯広畜産大学
2011年 畜産学部 第1問
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自然数$n$について,$\{a_n\}$は初項$a$,公差$d$の等差数列であり,$\{b_n\}$は初項$b$,公比$r$の等比数列である.数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し,その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする.また,数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し,その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする.次の各問に解答しなさい.
(1) $d=2a,\ a \neq 0$とする.
(ⅰ) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい.また,$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい.
(ⅱ) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい.
(2) $r=2b+1,\ b \neq 0$とする.
(ⅰ) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい.また,$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい.
(ⅱ) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき,$r$の値の範囲を求めなさい.
(3) $A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり,それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc} d & 2d-1 \\ 1 & d \end{array} \right),\ B=A^2$と定義される.また,行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし,行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする. \[ A \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -9 \\ 1 \end{array} \right) \]
(ⅰ) $d$を用いて$g$を表しなさい.また,$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい.
(ⅱ) $g$が最小値をとるとき,$A$の逆行列$A^{-1}$を求め,さらに$a$と$b$の値を求めなさい.また,$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき,$S_a$と$r$の値を求めなさい.
(1) $d=2a,\ a \neq 0$とする.
(ⅰ) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい.また,$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい.
(ⅱ) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい.
(2) $r=2b+1,\ b \neq 0$とする.
(ⅰ) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい.また,$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい.
(ⅱ) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき,$r$の値の範囲を求めなさい.
(3) $A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり,それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc} d & 2d-1 \\ 1 & d \end{array} \right),\ B=A^2$と定義される.また,行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし,行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする. \[ A \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -9 \\ 1 \end{array} \right) \]
(ⅰ) $d$を用いて$g$を表しなさい.また,$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい.
(ⅱ) $g$が最小値をとるとき,$A$の逆行列$A^{-1}$を求め,さらに$a$と$b$の値を求めなさい.また,$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき,$S_a$と$r$の値を求めなさい.
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