北里大学
2013年 理学部 第3問
3
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次の文中の$\fbox{ア}$~$\fbox{ホ}$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.
点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$,点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし,点$\mathrm{A}$,点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える.このような円は,直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する.直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$,下の領域に存在する円を$C_2$とする.また,点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$,同じく,点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする. \imgc{198_2285_2013_1}
(1) 円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする.
円$C_1$の中心の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$,円$C_2$の中心の座標は$(\fbox{ウ},\ \fbox{エ})$である.
また,点$\mathrm{P}_1$の座標は$(\fbox{オ},\ \fbox{カ})$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$(\fbox{キ},\ \fbox{ク})$である.
(2) 円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする.
円$C_1$の中心の座標は$(\fbox{ケ}\fbox{コ},\ \fbox{サ})$,円$C_2$の中心の座標は$(\fbox{シ},\ \fbox{ス})$である.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_1$とする.同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_2$とする.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}x+\fbox{タ}$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{セ}}x+\fbox{チ}$と表すことができる.
同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}}{\fbox{ト}}x+\fbox{タ}$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ツ}\fbox{テ}}x+\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}\fbox{ヌ}}$と表すことができる.
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}},\ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ノ}} \right)$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヒ}\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}},\ \frac{\fbox{ホ}}{\fbox{ヘ}} \right)$となる.
点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$,点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし,点$\mathrm{A}$,点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える.このような円は,直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する.直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$,下の領域に存在する円を$C_2$とする.また,点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$,同じく,点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする. \imgc{198_2285_2013_1}
(1) 円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする.
円$C_1$の中心の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$,円$C_2$の中心の座標は$(\fbox{ウ},\ \fbox{エ})$である.
また,点$\mathrm{P}_1$の座標は$(\fbox{オ},\ \fbox{カ})$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$(\fbox{キ},\ \fbox{ク})$である.
(2) 円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする.
円$C_1$の中心の座標は$(\fbox{ケ}\fbox{コ},\ \fbox{サ})$,円$C_2$の中心の座標は$(\fbox{シ},\ \fbox{ス})$である.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_1$とする.同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は,線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する.その交点を$\mathrm{Q}_2$とする.
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}x+\fbox{タ}$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{セ}}x+\fbox{チ}$と表すことができる.
同様に,点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}}{\fbox{ト}}x+\fbox{タ}$であり,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は,$\displaystyle y=-\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ツ}\fbox{テ}}x+\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}\fbox{ヌ}}$と表すことができる.
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}},\ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ノ}} \right)$,点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヒ}\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}},\ \frac{\fbox{ホ}}{\fbox{ヘ}} \right)$となる.
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