北九州市立大学
2014年 経済 第2問
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![2つの曲線C_1:f(x)=x^3-xとC_2:g(x)=x^3+x^2+axについて考える.ただし,aは定数である.曲線C_1上の点A(1/2,-3/8)における接線をℓとし,点Aと異なる点B(p,q)において曲線C_1と直線ℓは交わっている.以下の問題に答えよ.(1)曲線C_1を原点に関して対称移動したグラフはC_1自身であることを証明せよ.(2)直線ℓの方程式とp,qの値を求めよ.(3)関数f(x)のp≦x≦1/2における最大値と最小値を求めよ.(4)関数g(x)が極値を持たないための必要十分条件を導関数g´(x)を用いて表せ.また,このときの定数aの値の範囲を求めよ.(5)a=1のとき,2つの曲線C_1とC_2で囲まれた図形の面積を求めよ.](./thumb/680/3136/2014_2.png)
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$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える.ただし,$a$は定数である.曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし,点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている.以下の問題に答えよ.
(1) 曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ.
(2) 直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ.
(3) 関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ.
(4) 関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ.また,このときの定数$a$の値の範囲を求めよ.
(5) $a=1$のとき,$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) 曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ.
(2) 直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ.
(3) 関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ.
(4) 関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ.また,このときの定数$a$の値の範囲を求めよ.
(5) $a=1$のとき,$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
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