上智大学
2011年 経済(経済) 第1問
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$a,\ b,\ c$は整数で,$a \geqq 1,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$とする.$x$の2次式$P(x)=ax^2+bx+c$を考える.
(1) $P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で\fbox{ア}個存在する.
(2) 条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \] を満たす$P(x)$は全部で\fbox{イ}個存在する. このような$P(x)$のうち,$P(3)=17$を満たすものは \[ P(x) = \fbox{ウ}x^2+\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] である.
(3) 条件 \[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し,} \] \[ \qquad \qquad \text{かつ,任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \] を満たす$P(x)$のうち,$a$が最大のものは \[ P(x) = \fbox{カ}x^2+\fbox{キ}x+\fbox{ク} \] であり,$a$が最小のものは \[ P(x) = \fbox{ケ}x^2+\fbox{コ}x+\fbox{サ} \] である.
(1) $P(1)=2$を満たす$P(x)$は全部で\fbox{ア}個存在する.
(2) 条件 \[ \lceil P(n)=5 \text{を満たす自然数}n\text{が存在する}\rfloor \] を満たす$P(x)$は全部で\fbox{イ}個存在する. このような$P(x)$のうち,$P(3)=17$を満たすものは \[ P(x) = \fbox{ウ}x^2+\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] である.
(3) 条件 \[ \lceil P(n)=3 \text{を満たす自然数}n\text{が存在し,} \] \[ \qquad \qquad \text{かつ,任意の自然数}m\text{に対して}P(m)\text{が奇数である}\rfloor \] を満たす$P(x)$のうち,$a$が最大のものは \[ P(x) = \fbox{カ}x^2+\fbox{キ}x+\fbox{ク} \] であり,$a$が最小のものは \[ P(x) = \fbox{ケ}x^2+\fbox{コ}x+\fbox{サ} \] である.
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