上智大学
2015年 経済(経済),総合(教育,心理) 第2問
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![Nを2以上の整数とする.整数a,bに対し,演算\oplusをa\oplusb=\biggl((a+b) を N で割ったときの余り \biggr)と定める.例えば,N=2のとき,0\oplus0=0,0\oplus1=1,1\oplus1=0,1\oplus3=0である.(1)次の条件によって定められる数列{a_n}を考える.a_1=1,a_{n+1}=a_n\oplus(n+1)(n=1,2,3,・・・)(i)N=4のとき,a_3=[ヌ]である.(ii)N≧4とする.Nが偶数のとき,a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ],Nが奇数のとき,a_{N+1}=[ヒ]である.(iii)Nが偶数のとき,a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ],Nが奇数のとき,a_{N-1}=[マ]である.(2)Nを偶数とし,N=2Mと表す.ただし,Mは自然数である.次の条件によって定められる数列{b_n}を考える.b_1=1,b_{n+1}=b_n\oplus(2n+1)(n=1,2,3,・・・)このとき,b_M=0となる必要十分条件は,Nが[ミ]の倍数となることである.Nが[ミ]の倍数でない偶数のとき,b_M=\frac{[ム]}{[メ]}Nである.](./thumb/220/3183/2015_2.png)
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$N$を$2$以上の整数とする.整数$a,\ b$に対し,演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める.例えば,$N=2$のとき,
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である.
(1) 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(ⅰ) $N=4$のとき,$a_3=\fbox{ヌ}$である.
(ⅱ) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}N+\fbox{ハ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\fbox{ヒ}$である.
(ⅲ) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\fbox{マ}$である.
(2) $N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える. \[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$\fbox{ミ}$の倍数となることである.
$N$が$\fbox{ミ}$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}N$である.
(1) 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(ⅰ) $N=4$のとき,$a_3=\fbox{ヌ}$である.
(ⅱ) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}N+\fbox{ハ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\fbox{ヒ}$である.
(ⅲ) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\fbox{マ}$である.
(2) $N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える. \[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$\fbox{ミ}$の倍数となることである.
$N$が$\fbox{ミ}$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}N$である.
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