北海学園大学
2010年 理系 第5問
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![四角形ABCDにおいて∠BAC=∠CAD=θとする.線分BDの中点をEとし,線分BDと線分ACの交点をFとする.ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAD=ベクトルb,|ベクトルa|=a,|ベクトルb|=b,ベクトルAC=xベクトルa+yベクトルbとするとき,次の問いに答えよ.ただし,x,yは実数とし,x≠yとする.(1)ベクトルAEをベクトルa,ベクトルbの式で表せ.また,ベクトルECをx,y,ベクトルa,ベクトルbの式で表せ.(2)ベクトルAFをa,b,ベクトルa,ベクトルbの式で表せ.さらに,yをa,b,xの式で表せ.(3)∠CED=90°であるとき,cos2θをa,b,x,yの式で表せ.](./thumb/28/3170/2010_5.png)
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四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする.線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし,線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}|=a$,$|\overrightarrow{b}|=b$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$x,\ y$は実数とし,$x \neq y$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$,$y$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$,$b$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.さらに,$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ.
(3) $\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき,$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$,$y$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$,$b$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の式で表せ.さらに,$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ.
(3) $\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき,$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ.
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