岐阜大学
2012年 理系 第4問
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![数列{x_n}をx_1=1,x_{n+1}=x_n+x_n(1-logx_n)(n=1,2,3,・・・)で定めることにする.eを自然対数の底として,以下の問に答えよ.(1)実数xが0<x<eのとき,1/e(e-x)<1-logx<1/x(e-x)となることを示せ.(2)n=1,2,3,・・・に対し,1≦x_n<eであることを示せ.(3)n=1,2,3,・・・に対し,e-x_{n+1}<(1-1/e)(e-x_n)であることを示せ.(4)\lim_{n→∞}x_n=eであることを示せ.](./thumb/385/2485/2012_4.png)
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数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=1,\ x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めることにする.$e$を自然対数の底として,以下の問に答えよ.
(1) 実数$x$が$0<x<e$のとき,$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ.
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$1 \leqq x_n < e$であることを示せ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ.
(1) 実数$x$が$0<x<e$のとき,$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ.
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$1 \leqq x_n < e$であることを示せ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ.
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