同志社大学
2013年 文学部・経済学部 第3問
3
![△OABにおいてベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとする.2つの正の数s,tに対して,ベクトルOC=sベクトルa+tベクトルbとなるように点Cを定める.また,線分ACおよび線分BCの中点をそれぞれM,Nとし,直線OMおよび直線ONが線分ABと交わる点をそれぞれP,Qとする.|ベクトルa|=2,|ベクトルb|=3,ベクトルa・ベクトルb=5のとき,次の問いに答えよ.(1)線分ABの長さ,および△OABの面積S_1を求めよ.(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルb,s,tを用いて表せ.(3)ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,s,tを用いて表せ.(4)△OPQの面積をS_2とする.S_2をs,tを用いて表せ.(5)S_2=1/4S_1となるためのs,tの条件を求め,s,tがその条件をみたしながら動くとき,点Cの存在する範囲を求めよ.](./thumb/496/2933/2013_3.png)
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$\triangle \mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.$2$つの正の数$s,\ t$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{C}$を定める.また,線分$\mathrm{AC}$および線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とし,直線$\mathrm{OM}$および直線$\mathrm{ON}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.$|\overrightarrow{a}|=2$,$|\overrightarrow{b}|=3$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分$\mathrm{AB}$の長さ,および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする.$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ.
(5) $\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め,$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき,点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ.
(1) 線分$\mathrm{AB}$の長さ,および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする.$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ.
(5) $\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め,$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき,点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ.
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