獨協医科大学
2016年 医学部 第3問
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三角形$\mathrm{ABC}$について,$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{CA}=8$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{アイ} \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である.
また,三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$,外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セソ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{タチ}}{\fbox{ツテ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である.
したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である.
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は \[ \frac{\fbox{ニヌ}+\sqrt{\fbox{ネ}}}{\sqrt{\fbox{ノ}}} \] である.
また,三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$,外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セソ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{タチ}}{\fbox{ツテ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である.
したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である.
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は \[ \frac{\fbox{ニヌ}+\sqrt{\fbox{ネ}}}{\sqrt{\fbox{ノ}}} \] である.
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