九州工業大学
2013年 工学部 第1問
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頂点が$\mathrm{O}$で,各辺の長さが$1$である正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある.辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{CO}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とし,辺$\mathrm{OD}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.次に答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする.
(ⅰ) $k$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $t$の値が変化するとき,$k$の最大値を求めよ.また,$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする.
(ⅰ) $k$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $t$の値が変化するとき,$k$の最大値を求めよ.また,$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ.
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