兵庫県立大学
2014年 経済・経営 第4問
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$2$つの数列$\{x_n\}$,$\{y_n\}$を,$x_1=1$,$y_1=0$,かつ,各自然数$n$に対して,
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める.次の問に答えなさい.
(1) 各自然数$n$に対して,${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい.
(2) 各自然数$n$に対して,$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい.
(3) 各自然数$n$に対して,$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる.このとき,$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい.ただし,点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である.
(4) 一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい.
(1) 各自然数$n$に対して,${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい.
(2) 各自然数$n$に対して,$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい.
(3) 各自然数$n$に対して,$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる.このとき,$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい.ただし,点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である.
(4) 一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい.
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