$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$\displaystyle f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2) 関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3) $a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．