群馬大学
2013年 教育学部（数学・技術・理科） 第6問
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下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．
（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$） \imgc{104_2263_2013_1}
(1) $a_n$の一般項を求めよ．
(2) $S_n$の一般項を求めよ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．
（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$） \imgc{104_2263_2013_1}
(1) $a_n$の一般項を求めよ．
(2) $S_n$の一般項を求めよ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．
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